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高考数学热点知识内容深度讲解:一元二次不等式及其解法

高中学习宝典 2018-10-10 17:28:38

本文转载自【吴国平数学教育】并得到授权添加原创标志!

在高考数学当中,与解不等式相关的题目一直是高考数学的热点和必考考点之一,应用非常广泛。如在求函数的定义域、值域、求参数的取值范围等等,都需要用到解不等式相关的知识内容。

从历年高考数学试题来看,与解不等式相关的内容几乎每年都会考到,有的是直接考查解不等式,有的则是间接考查解不等式。如一些问题往往与函数概念,特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系。

不等式相关的高考数学试题一般考查不等式的基本概念、不等式基本性质、二元一次不等式(组)、一元二次不等式等等知识上面。

为了更好帮助大家学习和掌握好不等式的知识,今天我们就一起来讲讲一元二次不等式相关知识内容,以及解法等等。

一元二次不等式是高中数学的重要内容之一,也是高中数学教学中比较稳定的内容,在高考中也常常与数列、解析几何、向量、函数等结合在一起,考查学生对数形结合、函数与方程、化归、一般与特殊相互转化等等数学思想方法掌握情况。

学好数学,能很好锻炼和培养一个人的逻辑思维能力,一元二次不等式相关的知识内容、方法技巧,所蕴含丰富的数学思想等等,这些都能很好帮助一个人提高逻辑思维能力,学好中职数学有必要将内容各个击破,做好针对性训练,为升学打下坚实基础。

那么,什么是一元二次不等式?

一元二次不等式,是指含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式。它的一般形式是 ax²+bx+c>0 、ax²+bx+c≠0、ax²+bx+c<0(a不等于0)。

要想学好一元二次不等式的内容,会运用一元二次不等式知识解决问题,就必须理解一元二次不等式的解集。

二次函数y=ax2+bx+c的图象、一元二次方程ax2+bx+c=0的根与一元二次不等式ax2+bx+c>0与ax2+bx+c<0的解集的关系,可归纳为:

若a<0时,可以先将二次项系数化为正数,对照上表求解.

典型例题分析1:

解下列不等式:

(1)0<x2-x-2≤4;

(2)x2-4ax-5a2>0(a≠0).

(2)由x2-4ax-5a2>0知(x-5a)(x+a)>0.

由于a≠0故分a>0与a<0讨论.

当a<0时,x<5a或x>-a;

当a>0时,x<-a或x>5a.

综上,a<0时,解集为{x|x<5a,或x>-a};

a>0时,解集为{x|x>5a,或x<-a}.

解题反思:

认真掌握好解一元二次不等式的一般步骤:

1、对不等式变形,使一端为0且二次项系数大于0,即ax2+bx+c>0(a>0),ax2+bx+c<0(a>0);

2、计算相应的判别式;

3、当Δ≥0时,求出相应的一元二次方程的根;

4、根据对应二次函数的图象,写出不等式的解集;

5、解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解,再对根的大小进行分类讨论;若不能因式分解,则可对判别式进行分类讨论,分类要不重不漏。

要想正确解出一元二次不等式,我们一定要应注意以下四个问题:

1、在解一元二次不等式时,要先把二次项系数化为正数;

2、二次项系数中含有参数时,参数的符号会影响不等式的解集,讨论时不要忘记二次项系数为零的情况;

3、解决一元二次不等式恒成立问题要注意二次项系数的符号;

4、一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根及相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标相同。

典型例题分析2:

解下列不等式:

(1)-3x2-2x+8≥0;

(2)ax2-(a+1)x+1<0(a>0).

解:(1)原不等式可化为3x2+2x-8≤0,

即(3x-4)(x+2)≤0.

解得-2≤x≤4/3,

所以原不等式的解集为{x|-2≤x≤4/3}.

(2)原不等式变为(ax-1)(x-1)<0,

因为a>0,所以(x-1/a)(x-1)<0.

所以当a>1时,解为1/a<x<1;

当a=1时,解集为∅;

当0<a<1时,解为1<x<1/a.

综上,当0<a<1时,不等式的解集为{x|1<x<1/a};

当a=1时,不等式的解集为∅;

当a>1时,不等式的解集为{x|1/a<x<1}.

对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方;恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.

谨记一元二次不等式恒成立的条件:

1、ax2+bx+c>0(a≠0)(x∈R) 恒成立的充要条件是:

a>0且b2-4ac<0.

2、ax2+bx+c<0(a≠0)(x∈R)恒成立的充要条件是:

a<0且b2-4ac<0.

典型例题分析3:

设二次函数f(x)=ax2+bx+c,函数F(x)=f(x)-x的两个零点为m,n(m<n).

(1)若m=-1,n=2,求不等式F(x)>0的解集;

(2)若a>0,且0<x<m<n<1/a,比较f(x)与m的大小.

解:由题意知,F(x)=f(x)-x=a(x-m)·(x-n),

当m=-1,n=2时,

不等式F(x)>0,

即a(x+1)(x-2)>0.

当a>0时,

不等式F(x)>0的解集为{x|x<-1,或x>2};

当a<0时,

不等式F(x)>0 的解集为{x|-1<x<2}.

(2)f(x)-m=a(x-m)(x-n)+x-m

=(x-m)(ax-an+1),

∵a>0,且0<x<m<n<1/a,

∴x-m<0,1-an+ax>0.

∴f(x)-m<0,即f(x)<m.

学习一元二次不等式难点之一就是求含参数的一元二次不等式的解集,要想掌握好此部分内容,那么大家首先要搞清楚不含参数时如何解不等式,总结出其核心思想就是“一求、二画、三写”三步曲。即先求相应的一元二次方程的根,然后画出相应的一元二次函数的草图,最后写出不等式的解集。它将三个“二次”(二次不等式、二次方程、二次函数)之间的关系有机地结合起来,凸显数形结合等数学思想。

典型例题分析4:

一个服装厂生产风衣,月销售量x(件)与售价p(元/件)之间的关系为p=160-2x,生产x件的成本R=500+30x(元).

(1)该厂月产量多大时,月利润不少于1 300元?

(2)当月产量为多少时,可获得最大利润,最大利润是多少?

解:(1)由题意知,月利润y=px-R,

即y=(160-2x)x-(500+30x)

=-2x2+130x-500.

由月利润不少于1 300元,得-2x2+130x-500≥1 300.

即x2-65x+900≤0,解得20≤x≤45.

故该厂月产量在20~45件时,月利润不少于1 300元.

 (2)由(1)得,y=-2x2+130x-500

=-2(x-65/2)²+3225/2,

由题意知,x为正整数.

故当x=32或33时,y最大为1 612.

所以当月产量为32或33件时,可获最大利润,最大利润为1 612元.

方程实际应用问题是我们常见的题型之一,同样,在现实生活当中也需要运用不等式关系去解决问题。高考数学就明确要求,让考生扎实掌握和学会运用不等式相关知识内容去解决实际问题,为今后的工作和生活打下基础。

高考数学对不等式实际应用的具体要求,我们可以从四个方面去消化:

1、了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.;

2、会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型;

3、通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系;

4、会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图。

通过对高考数学考试要求进行分析,我们一定要学会通过具体情境,建立不等式模型;掌握一元二次不等式解法,理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间关系并能熟练运用。

解不等式相关的实际应用题,一般可按以下四个步骤进行:

1、认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系;

2、引进数学符号,用不等式表示不等关系;

3、解不等式;

4、回答实际问题。

典型例题分析5:

某商品每件成本价为80元,售价为100元,每天售出100件.若售价降低x成(1成=10%),售出商品数量就增加8x/5成.要求售价不能低于成本价。

(1)设该商店一天的营业额为y,试求y与x之间的函数关系式y=f(x),并写出定义域;

(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元,求x的取值范围.

解:(1)由题意得y=100(1-x/10)·100(1+8x/50).

因为售价不能低于成本价,

所以100(1-x/10)-80≥0.

所以y=f(x)=20(10-x)(50+8x),定义域为[0,2].

(2)由题意得20(10-x)(50+8x)≥10 260,

化简得8x2-30x+13≤0.

解得1/2≤x≤13/4.

所以x的取值范围是[1/2,2].

要想在高考数学中拿到一元二次不等式的分数,其实不难,关键要认真去掌握好知识,提高运用能力,重点知识重点突破,不放过任何一个小细节。如要熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法;掌握好用零点分段法解高次不等式和分式不等式,特别要注意因式的处理方法;了解简单的无理不等式、指数不等式和对数不等式转化为一元二次不等式(组)基本类型及其解法。